Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.



2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.


3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal

4. Diagram Batang Daun
Diagram batang daun dapat diajukan sebagai contoh penyebaran data. Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan lebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.
Contoh soal
Buatlah diagram batang-daun dari data berikut.
45 10 20 31 48 20 29 27 11 8
25 21 42 24 22 36 33 22 23 13
34 29 25 39 32 38 50 5

5. Diagram Kotak Garis
Data statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalah statistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar), Q1, Q2, dan Q3.

SUKU BANYAK


Ø Penjumlahan, Pengukuran, Perkalian Suku Cadang

· Dua buah suku banyak dapat dijumlah atau dikurangi dengan cara menambahkan atau mengurangi suku-suku yang berderajat sama.

· Untuk mengalikan dengan cara mengalikan suku demi suku.



Ø Nilai Suku Banyak

· Suku banyak dalam x sering ditulis dalam fungsi f (x).

· Bila nilai x diganti dengan konstanta k, maka f (k) disebut nilai suku banyak.

· Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dengan cara :

§ Substitusi langsung

§ Horner

Contoh :

Tentukan nilai dari f (x) = 2x7 + 5x6 - 5x4 + 7x3 – 5

Untuk x = - 2

Cara I → substitusi langsung

f (-2) = 2 (-2)7 + 5 (-2)6 – 5 (-2)4 + 7 (-2)3 – 5

= -256 + 320 – 80 – 56 – 5

= -77

Cara II → horner






Ø Kesamaan suku banyak

Dua bentuk aljabar yang sama untuk setiap nilai x dikatakan identik atau sama. Simbol identik : (ekuivalen).

Contoh :

Tentukan nilai p, q, r dengan persamaan berikut :

Jawab :


p + q + r = 6 …. (1)

-q – 3r = -7 … (2)

-p – 2q + 2r = -1 … (3)

(1) & (3)


(1) & (2)




Ø Pembagian suku banyak

Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa

f (x) = (x-a) . h (x) + sisa

f (a) = sisa

· Jika pembagi fungsi x pangkat n, maka sisa berpangkat paling tinggi (n-1)
Ø Teorema sisa dan faktor

Jika suku banyak f (x) berderajat dan dibagi (x – k) maka sisa s = f (k).

Contoh :

Suku banyak f (x) dibagi (x – 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya 7, berapa sisa f (k) bila dibagi x2 + x – 6 ?

Jawab :

Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa

f (x) = (x – 2) . H (x) + 8

f (x) = 8

f (x) = (x + 3) . H (x) + (-7)

f (-3) = -7

f (x) = (x2 + x – 6) . H (x) + (ax + b)

f (x) = (x + 3) (x – 2) . H (x) + (ax + b)

f (-3) = a (-3) + b → -3 a + b = -7

f (-2) = a . 2 + b → 2 a + b = 8 -

- 5 a = -15

a = 3

b = 2


Ø Memfaktorkan suku banyak

Langkah-langkah :

1. Jika jumlah koefisien-koefisien suku banyak termasuk konstanta adalah 0, maka 1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
2. Jika jumlah koefisien genap = jumlah koefisien, pangkat ganjil, maka -1 merupakan akar/penyelesaian dari suku banyak tersebut.
3. Jika langkah 1 dan 2 tidak terpenuhi, maka coba faktor dari konstantadibagi faktor koefisien pangkat tertinggi.


Ø Suku banyak berderajat 3 dan 4

· Berderajat 3

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Þ x1 + x2 + x3 =

Þ x1x2 + x2x3 + x1x3 =

Þ x1x2x3 =

· Berderajat 4

ax4 + bx3 + cx2 + dx1 + e = 0

Þ x1 + x2 + x3 + x4 =

Þ x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =

Þ x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =

Þ x1 x2 x3 x4 =


A.

1. Jika f (x) dibagi (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …


a. 8x + 8

b. 8x – 8

c. -8x + 8

d. -8x – 8

e. -8x + 6



2. Sisa pembagian suku banyk (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …


a. -6x + 5

b. -6x – 5

c. 6x + 5

d. 6x – 5

e. 6x – 6



3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku bayank tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …


a. x – 2

b. x + 2

c. x – 1

d. x – 3

e. x + 3



4. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak f (x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …


a. x – 2

b. x + 2

c. x – 1

d. x – 3

e. x + 3



5. Jika suku banyak P (x) = 2x4 – ax3 – 3x2 – 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …


a. -6

b. -3

c. 1

d. 6

e. 8



6. Diketahui suku banyak f (x) jika dibagi (x + 1) sisanya 8 dan dibagi (x – 3) sisanya 4. Suku banyak q (x) jika dibagi dengan (x + 1) bersisa -9 dan jika dibagi (x – 3) sisanya 15. Jika h (x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h (x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …


a. –x + 7

b. 6x – 3

c. -6x – 21

d. 11x – 13

e. 33x – 39



7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linier yang lain adalah …


a. 2x – 1

b. 2x + 3

c. x – 4

d. x + 4

e. x + 2



8. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P (x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …


a. 20x + 24

b. 20x – 16

c. 32x + 24

d. 8x + 24

e. -32x – 16



9. Jika f (x) = x3 – x2 + 2x – 4, maka nilai f (x) untuk x = -2 adalah …


a. -25

b. -20

c. -10

d. 10

e. 20



10. Jika 2x10 – 5x6 + 3x2 – 11 dibagi dengan x2 – 1, maka sisanya adalah …


a. -9

b. -10

c. -11

d. 9

e. 10



11. Fungsi f (x) dibagi (x + 2) sisanya -4, dan dibagi (x – 1) sisanya 5. Jika f (x) tersebut dibagi x2 + x – 2, maka sisanya adalah …


a. 2x + 3

b. 2x – 3

c. 3x + 2

d. 3x – 2

e. x + 1



12. Sisa pembagian x4 – 2x3 + x2 – 3x + 4 dibagi (x2 + x + 2) adalah …


a. x + 3

b. x + 2

c. x + 1

d. x

e. x – 1



13. Sisa pembagian 2x3 – x2 – x + p oleh (x + 1) adalah -3, untuk harga p yang memenuhi adalah …


a. -5

b. -4

c. -3

d. -1

e. 0



14. Akar-akar persamaan 2x3 – 8x2 – 6x + 1 = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka harga x12 – x22 + x32 adalah …


a. 1

b. 8

c. 9

d. 10

e. 22



15. Persamaan 3x3 + (p+2)x2 – 16x – 12 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah …


a. 4

b. 3

c. 1

d. -1 ¾

e. -4



16. Tentukan sisa pembagian dari (x3 – 2x2 + 5x – 40) dibagi (x – 2) maka sisanya adalah …


a. 30

b. 20

c. 10

d. -20

e. -30



17. Jika x1, x2 dan x3­ akar persamaan dari x3 – 12x2 – 10x + 16 = 0, maka tentukan x1x2 + x1x3 + x2x3 adalah …


a. 6

b. -5

c. -8

d. 10

e. 2

DEFINISI
Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
Maka :
S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
A = {mmb, bmm}
n(S) = 23 = 8
n(A) = 2
P(A) = 2/8 = 1/4
2. Percobaan melempar dadu satu kali.
A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
Maka :
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}
n(S) = 6
n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
_
P(A) + P(A) = 1
Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

1. Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
2.
Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
3.
Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)


Anggap f : A ® B dan g : B ® C

Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t


2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil

maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif

SUKU BANYAK


Ø Penjumlahan, Pengukuran, Perkalian Suku Cadang

· Dua buah suku banyak dapat dijumlah atau dikurangi dengan cara menambahkan atau mengurangi suku-suku yang berderajat sama.

· Untuk mengalikan dengan cara mengalikan suku demi suku.



Ø Nilai Suku Banyak

· Suku banyak dalam x sering ditulis dalam fungsi f (x).

· Bila nilai x diganti dengan konstanta k, maka f (k) disebut nilai suku banyak.

· Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dengan cara :

§ Substitusi langsung

§ Horner

Contoh :

Tentukan nilai dari f (x) = 2x7 + 5x6 - 5x4 + 7x3 – 5

Untuk x = - 2

Cara I → substitusi langsung

f (-2) = 2 (-2)7 + 5 (-2)6 – 5 (-2)4 + 7 (-2)3 – 5

= -256 + 320 – 80 – 56 – 5

= -77

Cara II → horner






Ø Kesamaan suku banyak

Dua bentuk aljabar yang sama untuk setiap nilai x dikatakan identik atau sama. Simbol identik : (ekuivalen).

Contoh :

Tentukan nilai p, q, r dengan persamaan berikut :

Jawab :


p + q + r = 6 …. (1)

-q – 3r = -7 … (2)

-p – 2q + 2r = -1 … (3)

(1) & (3)


(1) & (2)




Ø Pembagian suku banyak

Yang dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa

f (x) = (x-a) . h (x) + sisa

f (a) = sisa

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis.



2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.


3. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.
Contoh soal

4. Diagram Batang Daun
Diagram batang daun dapat diajukan sebagai contoh penyebaran data. Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan lebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.
Contoh soal
Buatlah diagram batang-daun dari data berikut.
45 10 20 31 48 20 29 27 11 8
25 21 42 24 22 36 33 22 23 13
34 29 25 39 32 38 50 5

5. Diagram Kotak Garis
Data statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalah statistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar), Q1, Q2, dan Q3.

DEFINISI
Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.
P(A) = k / n
Dimana
k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin
Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel
Contoh:
1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
Maka :
S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
A = {mmb, bmm}
n(S) = 23 = 8
n(A) = 2
P(A) = 2/8 = 1/4
2. Percobaan melempar dadu satu kali.
A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
Maka :
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}
n(S) = 6
n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2
Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku
_
P(A) + P(A) = 1
Contoh:
Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?
Jawab:
P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

1. Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
2.
Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
3.
Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f-1(x)

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)